誕生日

本日12月10日は何を隠そう僕の誕生日です！

ハッピーバースデー自分！！！

というわけでこれを読んだ皆さんはちゃんと祝ってくれなきゃダメなんですよ？

それはそうと、先日12月7日は集合論の誕生日ともいえる日でした。

というのも、無限の研究としての集合論が確立された日、すなわちCantorが実数全体の集合が非可算である(つまり実数全体の集合と自然数全体の集合との間に一対一対応が存在しない)ということを発見したその日が1873年12月7日です。

その後、Cantorは順序数や基数の理論を構築していき、可算濃度と連続体濃度の間には基数は存在しないのではないか、というような直観から現在では連続体仮説と呼ばれる問題の証明へと生涯を捧げることになります。Hilbertが1900年にパリで開かれた国際数学者会議の講演で、23の数学の未解決問題の内の最初の一つとしてこの問題を取り上げたことからもその重要性が窺い知れます。

Cohenによる強制法という手法の導入により、連続体仮説は一応の「解決」を見ました。しかしそれは最終的な解決というわけではなく、集合論に強制法という革新的な手法をもたらし、その先に潜むより興味深い問題が研究がされていくことになったのです。

このように連続体仮説はそれ自身重要な問題であっただけでなく、集合論の発展のきっかけを与えたとも思えます。自然数と実数という数学をする上で基本的な対象に関する素朴な発見、疑問から集合論が生まれ、発展してきたと思うと、その先にどのような広がりを見せるのか興味を惹かれませんか？

というわけで、集合論って面白そうだなぁという話でした。

(実際、僕はCantorの対角線論法をきっかけに集合論に興味を持ちました。)

ここまで読んでくださりありがとうございます。

最後に、今日は僕の誕生日です！(大事なことなので(ry